Esta página pode auxiliar um estudante principiante na disciplina de cristalografia a encontrar as coordenadas da origem da cela unitária retangular do grupo c2mm que também coincide com um eixo binário e com a interseção de dois planos de reflexão, num conjunto de discos periodicamente distribuídos no espaço bidimensional. A "status bar"* precisa estar instalada no navegador ou "browser" a fim de obter coordenadas do mouse. A resolução válida encontrada com este recurso termina a caça à origem da cela unitária c2mm, ela estará de acordo com a International Tables for Chrystallography.

Procedimento sugerido

Um clique no botão do mouse com coordenadas mostradas na "status bar" irá exibir um círculo centrado na interseção de duas retas perpendiculares em vermelho. Se o círculo interceptar o ponto preto central de cada um de quatro discos, simultaneamente de modo a encobrí-los, então a origem da cela unitária já foi encontrada e as coordenadas da origem serão os valores de x e y mostrados na "status bar". Neste caso cada uma das duas retas perpendiculares em vermelho representa um plano de simetria do grupo c2mm.
Se necessário, uma ação sobre o botão print screen do computador e uma colagem da tela em qualquer editor gráfico de boa qualidade permite observar facilmente se o círculo vermelho interceptou os quatro pontos pretos em escala ampliada. Se o círculo vermelho interceptou os quatro pontos pretos então os quatro pontos pretos estarão encobertos pelo círculo vermelho e uma resolução válida para a origem da cela unitária foi encontrada naquelas coordenadas. Por outro lado, se as últimas coordenadas do centro do círculo vermelho foram anotadas, pode-se calcular a correção necessária para atingir as coordenadas válidas do vértice da origem da cela unitária após uma análise visual. Por exemplo, se o centro do círculo vermelho foi localizado na coordenada válida para x mas duas unidades a mais da coordenada válida de y, então a parte superior do círculo vermelho estará duas unidades de coordenadas afastado de dois centros de discos pretos e estes estarão fora do círculo vermelho. Neste caso a parte inferior do círculo vermelho também estará duas unidades de coordenadas afastada dos outros dois centros de discos pretos e estes centros pretos estarão internos ao círculo vermelho. Este aplicativo permite repetir as tentativas tantas vezes quanto for desejado.

Em futuras aplicações deste método para encontrar as coordenadas de outros vértices de celas unitárias retangulares dos grupos de simetria p2mm, p2mg, p2gg e c2mm, em outras distribuições periódicas pode-se utilizar um plástico transparente com um ou mais círculos concêntricos desenhados que será deslisado sobre a figura periódica até encontrar as coordenadas válidas do vértice da cela unitária, respeitadas as exigências de cada grupo de simetria. Note que o número de objetos interceptados por um mesmo círculo precisa ser necessariamente par e todos os objetos internos às bordas da distribuição periódica devem estar dois a dois relacionados pelo eixo binário encontrado.
*"status bar" é uma linha especial no rodapé do navegador ou "browser" que pode ser utilizada para informar o usuário.

Exercícios

1) Escreva as coordenadas de três pares de centros de discos relacionados pelo eixo binário nas origem.

2) Escreva as coordenadas de três pares de centros de discos relacionados pelo plano de reflexão paralelo a x  que intercepta a origem.

3) Escreva as coordenadas de três pares de pontos relacionados pelo plano de reflexão paralelo a y que intercepta a origem.

4) Aplique este método para encontrar a origem da cela unitária retangular de grupos de simetria p2mm, p2mg, p2gg e c2mm selecionáveis da página grupos bidimensionais de simetria.

Referência

International Tables for Crystallography (2005). Vol. A, edited by T. Hahn, Dordrecht: Springer.

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Apresentação