A animação na figura acima representa a rotação do vértice P₂ do cubo com coordenadas cartesianas  5; 10; 10 ao redor da diagonal do cubo, em vermelho e definida pelos vértices P₀(5; 0; 0) e P₁(-5; 10; 10). A trajetória do ponto P₂ é representada por uma sequência regular de discos coloridos, projetados do início até completar 120^o. As coordenadas cartesianas ao longo de x, y e z para os vértices do cubo estão listadas em azul no lado esquerdo da figura.

Porém o método matemático para que o computador efetue a rotação executa 8 passos, conforme explicado no texto que segue.

Considere o seguinte

x, y, z = Referencial Cartesiano com origem em o.

P₀, P₁ = dois pontos que definem o eixo de rotação e este eixo coincide com a diagonal do cubo.

P₂ = ponto a ser girado de 120^o.

Tabela-1.Coordenadas iniciais
 

Ponto	x	y	z
P0	5	0	0
P1	-5	10	10
P2	5	10	10

Passo-1. Aplicar ao ponto P₀ o deslocamento  -5x; 0y; 0z  para ele coincidir com a origem.
Executar o mesmo deslocamento para P₁ e P₂.

Tabela-2.Coordenadas após o passo-1.
 

Ponto	x	y	z
P0'	0	0	0
P1'	-10	10	10
P2'	0	10	10

Passo-2. Girar = 45^o ao redor do eixo referencial cartesiano x para que P₁' esteja no plano xy.
Executar o mesmo deslocamento para P₁ e P₂.

Utilizar a matriz rotação

Tabela-3.Coordenadas obtidas após o passo-2.
 

Ponto	x	y	z
P0''	0	0	0
P1''	-10	0	10 * (21/2)
P2''	0	0	10 * (21/2)

Passo-3. Calcular o ângulo de rotação do segmento oP₁''  para que o ponto P₁'' alcance o eixo referencial z .

Passo-4. Girar  o ponto P₁'' e o ponto P₂'' de = 35,264^o  ao redor do eixo referencial y.

Utilizar a matriz rotação

Tabela-4.Coordenadas obtidas após o passo-4.
 

Ponto	x	y	z
P0'''	0	0	0
P1'''	0	0	17,321
P2'''	8,1650	0	11,547

Passo-5. Executar a rotação escolhida: girar de  = 120^o o ponto P₂''' ao redor do eixo referencial z.

Utilizar a matriz rotação

Tabela-5. Coordenadas do ponto P₂^iv obtidas após o passo-5.
 

Ponto	x	y	z
P2iv	-4,0825	7,0711	11,547

Passo-6. Reverter: girar de -= -35,264^o o ponto P₂^iv ao redor de y.

Tabela-6. Coordenadas do ponto P₂^v obtidas após o passo-6.
 

Ponto	x	y	z
P2v	-9,9999	7,0711	7,0711

Passo-7. Reverter: girar o ponto P₂^v de -= -45^o ao redor de x.

Tabela-7. Coordenadas do ponto P₂^vi obtidas após o passo-7.
 

Ponto	x	y	z
P2vi	-10	10	0

Passo-8. Reverter: deslocar o ponto P₂^vi de  +5x; 0y; 0z para a posição final.

Tabela-8. Coordenadas do ponto P₂^vii obtidas após o passo-8. Rotação completada.
 

Ponto	x	y	z
P2vii	-5	10	0

Conclusão

O ponto P₂^vii coincide com o ponto P₃.

Observação

O programa que projeta a figura animada foi realizado com o auxílio do programa Rotação de Objetos ao Redor de um Eixo Arbitrário

Exercício

Utilizar o recurso citado acima para obter as coordenadas cartesianas finais para o ponto P₂ ( 5; 10; 10) após a rotação inicial de 120^o e após uma rotação de -120^o e após uma rotação de 240^o ao redor do mesmo eixo definido pelos pontos P₀ (5; 0; 0) e P₁ (-5; 10; 10). Escreva as tuas conclusões. Sugestão: utilize  x[0] = 5; y[0] = 10; z[0] = 10 e x[1] = 5; y[1] = 10; z[1] = 10 porque o programa do recurso demanda pelo menos dois pontos para definir um segmento, neste caso o segmento tem comprimento xero.

Referência

Fundamentals of Crystallography, Edited by C. GIACOVAZZO, Second Edition, Oxford University Press, Great Britain, 2002.

Tabela de temas
 

Apresentação