Figura 1.
Última Atualização 25/ 06/ 2006
A construção rápida de um modelo simples e barato para o estudo dos elementos de simetria chamados eixo de transrotação (ou rototranslação) 31 e 32 existentes em cristalografia emprega dois lápis de seção reta hexagonal. O objetivo desta página é incentivar a construção dos modelos e verificar as propriedades aqui descritas com auxílio dos sentidos da visão e do tacto. Nota-se que a construção dos modelos não inutiliza os lápis, apenas incrementa a sua utilidade. Existe modelo em projeção perspectiva do eixo de transrotação ternário.
Estudo do eixo 31
Marca-se uma unidade de repetição u por exemplo
igual a 3 cm com entalhes em forma de segmento feitos com um canivete com
origem a partir de 0,5 cm da extremidade de uma face plana do lápis
junto com um ponto inicial feito com a ponta do canivete. O eixo de rototranslação
31 vai agir sobre o ponto inicial e os subsequentes.
O primeiro ponto resultante da rotação de 120o
do ponto inicial por um eixo 31 no sentido horário estará
deslocado a 1 cm do ponto inicial. Isto porque 31 significa
que o passo de deslocamento linear é igul a 1/3 de u, ou
seja, 1 cm.
O segundo ponto estará a um ângulo de 240o
no sentido horário do ponto inicial e deslocado de 2 cm a partir
da origem. Este ponto estará localizado na face do lápis
em contato com o papel milimetrado da figura 1 e portanto não aparece.
O terceiro ponto estará a 360o do ponto inicial,
ele vai ocupar a mesma face do lápis na qual se encontra o primeiro
ponto porém deslocado a 3 cm da origem, ou seja a uma distância
igual à unidade de repetição, como mostrado na figura
1.
Figura 1.
Estudo do eixo 32
Procede-se de forma análoga ao eixo 31, porém os deslocamentos paralelos ao eixo não são de 1 cm como no caso anterior, são de 2 cm. A rotação será de igual ângulo e no mesmo sentido. Ao completar 360o atinge-se a marca da segunda unidade de repetição, a 6 cm da origem, conforme se observa na figura 2.
Figura 2.
Agora transporta-se o conteúdo da segunda unidade de repetição sobre a primeira unidade de repetição. Isto porque as unidades de repetição cristalográficas devem possuir os mesmos conteúdos nas mesmas posições relativas. A foto na figura 3 mostra o modelo resultante.
Figura 3.
Enantiomorfismo
Observa-se que os pontos que representam o eixo 31 são enantiomórficos aos que representam o eixo 32. Comprova-se isso colocando um lápis colinear e oposto ao outro de modo que as origens fiquem próximas. Os pontos de um lápis que representam o eixo 31 estarão para os pontos do outro lápis que representam o eixo 32 assim como pontos imagem e objeto refletidos por um espelho (ou plano de reflexão) colocado no ponto de junção dos lápis e em posição perpendicular aos eixos, vide figura 4.
Figura 4.
Observação
O mesmo tipo de eixo encontra-se compondo a simetria do cristal de arsenato de alumínio, AlAsO4 sob a elevada pressão de 4,87 GPa, do sistema trigonal, segundo H.Sowa, Zeitschrift Für Kristallographie, 194, 291-304, (1991).
Exercícios
1. Ajuste o modelo do eixo 31 ao lado do modelo do eixo 32 e verifique se é possível uma completa superposição de pontos.
2. Existe alguma semelhança entre uma espiral ou hélice
e a sequência de pontos do eixo 31 e 32? Explique.
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